Шпаргалки По Линейной Алгебре 1 Семестр
Учебные материалы по линейной алгебре. 1 курс 1 семестр 97. Шпоры по линейной. Элементы линейной алгебры. Шпаргалки по высшей. Курс лекций по математике (1 семестр). Шпаргалка по математике. Линейной алгебре. Курс лекций по математике (1 семестр).
Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 1 курс, 1 семестр. Факультет ВМС, группа ВИ-2-00. Определители 1.1 Свойства определителей Определителем или детерминантом n-го порядка называется число, записываемое в виде 1 и вычисляемое по данным числам (действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:, распространенная на всевозможные различные перестановки из чисел.
Число равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки к перестановке n-го порядка. Произведение называется членом определителя. Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам: а) Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами; б) Величина определителя меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы); в) Величина определителя умножается на число k (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k (т.е.
Множитель, присутствующий с строке или столбце, можно выносить за знак определителя); г) Величина определителя равна 0, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю; д) Величина определителя равна 0, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны; е) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя (см. П.1.2 Разложение определителя по строке и столбцу); ж) Сумма произведений элементов gif' name='object13' align=absmiddle width=26 height=21 некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты (алгебраические дополнения) элементов другой строки (столбца) равна нулю:,; з) Пусть даны два определителя n-го порядка и, у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного).
Сумма таких определителей равна определителю n-го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из суммы соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и; и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k; к) Пусть,. Произведение двух определителей n-го порядка с элементами и есть в свою очередь определитель n-го порядка с элементами, т.е. 1.2 Разложение определителя по строке и столбцу Возьмем определитель n-го порядка:. Вычеркнем из этого определителя i-ую строку и k-ый столбец.
Оставшееся выражение порождает определитель ( n-1)-го порядка, называемый минором элемента. Величина же называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента. разложение определителя по элементам i-ой строки, - разложение определителя по элементам k-го столбца; Определитель, порожденный числами называется степенным или определителем Вандермонда 2. Определитель Вандермонда будет равен нулю, если среди чисел есть одинаковые. Правило Крамера 3. Зададим систему или n линейных уравнений с n неизвестными. Числа (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы, заданы.
Можно говорить, что система определяется матрицей ее коэффициентов. Если определитель данной системы не равен 0, т.е., то система имеет единственное решение для любого вектора y, вычисляемое по формуле Крамера, где - определитель, получаемый из определителя, если в нем заменить числа j-го столба соответственно на числа:. Таким образом, где - адъюнкт элемента в определителе.
Шпаргалки По Линейной Алгебре 1 Семестр
Комплексные числа 2.1 Понятие комплексного числа Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел. Выражения – алгебраическая форма к.ч., где - действительные числа, а - специальный символ; при этом для комплексных чисел, введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам: 1); 2); 3); 4). Из 1) и 3) следует,. Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами: 1) коммутативности; 2) ассоциативности; 3) дистрибутивности; 4); 5); 6); 7).
Если на плоскость введена декартовая прямоугольная система координат, то всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие некоторая точка с абсциссой x и ординатой y. При этом говорят, что точка изображает к.ч. Плоскость, на которой изображаются к.ч., называется комплексной плоскостью. Ось – действительной осью, а ось – мнимой осью. Число называется модулем к.ч. И обозначается символом.
Модуль числа z равен расстоянию от начала координат до точки M, изображающей это число. Всякое решение системы уравнений (.) называется аргументом к.ч. Все аргументы числа z различаются на целые кратные и обозначаются единым символом.Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть ось до совпадения с радиус-вектором точки M (при этом, если поворот совершается против часовой стрелки, и в противном случае). Значение, удовлетворяющее условию, называется главным значением аргумента и обозначается символом. В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение, удовлетворяющее условию. Из соотношений (.) следует, что для всякого к.ч. Z справедливо равенство, называемое тригонометрической формой числа z.
И в тригонометрической форме, где и, справедливы равенства:,. 2.2 Комплексные числа в показательной форме Пусть - произвольное действительное число. Символом обозначается комплексное число. С помощью этого обозначения всякое к.ч.
Может быть записано в показательной форме. Формулы Эйлера: Для к.ч. И в показательной форме, где и, справедливы равенства:,. Число называется сопряженным к комплексному числу. Операция построения сопряженного к.ч. Обладает следующими простыми свойствами:,. Формула Муавра:.
2.3 Разложение многочленов на множители Многочленом n-ой степени называется функция вида, где – постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а – комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения или, выражаясь геометрическим языком, может быть любой точкой комплексной плоскости. Если при, то число называется корнем или нулем многочлена. Для многочленов определены следующие арифметические операции: В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.
Деление многочленов с остатком., где – частное, а – остаток. Теорема Безу. Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень, необходимо и достаточно, чтобы он делился на, т.е. Чтобы его можно было представить в виде произведения, где – некоторый многочлен степени n-1. Guardant 4 88 на виндовс 7 8 download. Если при разложении, то на основании теоремы Безу применимой к, многочлен не делится на, а хотя и делится на, но не делится.
В этом случае говорят, что – простой корень (нуль) многочлена. Пусть теперь. Тогда по теореме Безу, применимой к, многочлен делится на, и мы получим, где – некоторый многочлен степени n-2. Если, то делится на, но не делится на, и тогда число называется корнем (нулем) кратности 2.
В общем случае для некоторого натурального имеет место, где – многочлен степени n-s, и тогда говорят, что – корень (нуль) многочлена кратности s. Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-ой степени (ненулевой, т.е. ) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль). Следствие из теоремы Гаусса. Многочлен n-ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом имеет n комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря представляется в виде произведения, где – различные корни кратностей, соответственно. Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е.
Если – корень многочлена, то и корень будет являться корнем многочлена. Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни на сопряженные, т.е. Получим разложение многочлена на линейные множители. В результате получим разложение вида, где отвечает вещественному корню b кратности l, а – комплексным корням и кратности m.
Алгебра матриц 3.1 Умножение матриц Матрицей размера или ( )- матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, состоящая из строк и столбцов. При матрица называется квадратной матрицей n-ого порядка. Суммой ( )- матриц и называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц и:,.
Легко видеть, что,. Замечание: складывать можно только матрицы одного размера.
Произведением матрицы на число (действительное или комплексное) называется матрица, получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на:,. Произведением - матрицы на - матрицу называется -матрица, элемент которой, стоящий в i-ой строке и в j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы и j-ого столбца матрицы:,.
Легко видеть,. Матрицы и называются перестановочными (коммутирующими),. Свойства умножения квадратных матриц. 1) При перемножении квадратных матриц, допустим -матрицы на -матрицу, получим -матрицу.
Матрица коммутирует. Матрица называется транспонированной к матрице, если выполняется условие для всех, где и – элементы матриц и соответственно. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется. Матрица транспонированного произведения есть произведение транспонированных матриц в обратном порядке, т.е. 3.2 Обратная матрица Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0, и невырожденной (неособенной) в противном случае.
Если – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица такая, что, где E – единичная матрица (т.е. Такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0). Матрица называется обратной к матрице и ищется следующим образом:, где – транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы. Решение матричных уравнений. 1) Домножив справа на, получим.
2) Домножив слева на, получим. 3) Домножив слева на и справа на, получим. Решение систем линейных уравнений. Дана система:.
Решение: Данная система является частным случаем матричного уравнения 2), где,. При условии, что система имеет единственное решение, а именно, где. Рассмотрим теперь на примере системы:. Решение: (.) Полученное матричное уравнение имеет вид 2), т.е.
Находим матрицу, обратную к матрице:; Преобразовав наше матричное уравнение (.) как описано выше в пункте 2), получим 4. Линейные пространства 4.1 Понятие линейного пространства Множество L называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия: 1) В L введена операция сложения элементов, т.е. Определено отображение (обозначение: ), обладающее следующими свойствами: -; -; - (элемент 0 называется нулевым); - (элемент – x называется противоположным элементу x); 2) В L введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. Определено отображение (обозначение: ), обладающее следующими свойствами: -; -; 3) Операция сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности: -; -; Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Примеры линейных пространств: 1) – пространство геометрических векторов.: - если, то; - если,. 2) – арифметическое пространство. – множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел со следующими правилами:, 3) – пространство многочленов., 4) – пространство ( )-матриц. ( ), ( ) 5) – пространство функций, непрерывных на., Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество, которое обладает свойствами: 1); 2). Выводы: 1) всякое подпространство содержит; 2) каждый вектор в подпространство входит с противоположным. Подпространство линейного пространства само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на число.
Является линейной комбинацией векторов системы S, если, где. Совокупность линейных комбинаций векторов системы S из линейного пространства L называется линейной оболочкой, т.е. Линейная оболочка системы S в линейном пространстве L образует подпространство в L. Линейная оболочка системы – наименьшее подпространство, содержащее все векторы системы. 4.2 Линейная зависимость и независимость системы векторов Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа, не равные одновременно нулю и такие, что; в противном случае эта система называется линейно независимой. Свойства: 1) – линейно зависима, если; 2) – линейно зависима, если; 3) Если система содержит зависимую подсистему, то вся система зависима. Следствия: 1) Всякая часть линейно независимой системы линейно независима; 2) Система, содержащая – линейно зависима; 3) Система, содержащая два равных или пропорциональных вектора, линейно зависима.
Критерий линейной зависимости. Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из ее векторов линейно выражался через другие.
Геометрический смысл линейной зависимости. 1) Система из 2-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т.е. – линейно зависима, когда. Замечание: коллинеарен любому (каждому) вектору. 2) Система из 3-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны. 3) Любая система из 4-х и более векторов – линейно зависима.
4.3 Ранг системы векторов Рангом системы векторов называется размерность ее линейной оболочки, т.е. Подсистема системы называется базой в, если 1) – линейно независима; 2) Любой вектор из линейно выражается через векторы. 4.4 Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях. Если все векторы линейно выражаются через векторы, то Доказательство: Т.к. И, то вышесказанное будет доказано, если докажем,.
Для любого имеет разложение, но каждый вектор линейно выражается через, (.) где и т.д. Из (.), т.е. Есть включение. Элементарные преобразования системы векторов: 1) перестановка 2-х векторов; 2) умножение вектора на число, не равное 0; 3) добавление к одному вектору другого, умноженного на коэффициент. При элементарных преобразованиях ранг сохраняется:.
4.5 Базис и размерность линейного пространства. Число n называется размерностью линейного пространства L, если: 1) в L существует система из n линейных векторов; 2) любая система из n+1 векторов в L – линейно зависима. Замечание: В n-мерном пространстве L линейно зависима любая система из вектора.
Базисом n-мерного линейного пространства L называется всякая линейно независимая система в L, состоящая из n-векторов. Базисы в линейных пространствах. Базис в L – любая тройка некомпланарных векторов. Канонический базис:. Базис в L образует, например,. Канонический базис:. Канонический базис:.
Библиографический список: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и математический анализ. – М.: Наука, 1986.
Последняя редакция: 12.2002 г.
Линейная алгебра. Что называют матрицей 2.
Что называют определителем данной квадратной матрицы. Свойства определителя 4. Вычисление определителя матрицы 5.
Что называют минором элемента 6. Правило Крамара 7. Решение системы однородных линейных уравнений 8. Решение однородной система линейных уравнений 9. Метод Гаусса 10.
Ранг матрицы 11. Свободные, базисные, элементы матрицы 12. Коллинеарные вектора 13.
Шпоры По Линейной Алгебре 1 Курс 1 Семестр
Сложение, умножение вектора на число 14. Базис векторов 15. Декартова прямоугольная система координат 16. Полярная система координат 17.
Скалярное произведение векторов 18. Векторное произведение векторов 19. Смешанное произведение векторов 20. Уравнение примой, проходящей через две точки на плоскости 21. Уравнение плоскости проходящее через 3 точки 22. Гипербола 24.
Линейное пространство 26. Базис линейного пространства 27. Евклидово пространство. Аксиомы скалярного произведения векторов 29. Нормой вектора x называют число 30. Угол между векторами 31.
Ортогональность векторов 32. Линейные матричные операции 33. Умножение матриц: 34.
Обратная матрица 35. Матричное решение систем линейных уравнений. Линейная алгебра 2. Матрицы, виды матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
Равенство матриц. Транспонирование матриц 6. Линейные операции нал матрицами сложение, умножение на число.
Свойства линейных операций над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции умножения матриц. Обратная матрица. Теорема единственности обратной матрицы. Определители n - го порядка, их свойства 11. Теорема о существовании обратной 12.
Блочные матрицы. LU-разложение квадратной матрицы. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Системы линейных уравнений. Системы линейных неоднородных уравнений.
Различные формы записи систем линейных неоднородных уравнений. Решение системы. Совместные и несовместные системы.
Критерий совместности Кронекера-Капелли. Матричный способ решения системы линейных уравнений с невырожденной матрицей. Вывод формул Крамера.
Системы линейных однородных уравнений. Свойства решений фундаментальная система решений.
Общее решение системы линейных однородных уравнений. Структура общего решения системы линейных неоднородных уравнений. Метод Гаусса численного решения систем линейных уравнений. Поле комплексных чисел.
Основные определения. Три формы записи комплексного числа.
Муавра и Извлечения корня n-ой степени. Кольцо многочленов, основные определения. Формулировка теоремы Безу и основной теоремы алгебры. Матрицы, основные определения, действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей. Ранг матрицы.
Методы его нахождения. Определение и способ нахождения обратной матрицы. Произвольные системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между решениями неоднородной и соответствующей однородной системы. Векторы, основные определения.
Операции над векторами. Системы линейных уравнений, основные определения. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений 12. Системы линейных уравнений, основные определения. Формулы Крамера. Понятие базиса системы векторов.
Теоремы о линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в 3-х мерном пространстве. Декартов прямоугольный базис, основные понятия и определения. Системы координат на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов, его свойства. Векторное и смешанное произведение векторов, его свойства. Уравнение прямой на плоскости (общее, каноническое, проходящей через две заданные точки, с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное) 19.
Нормальное уравнение. Взаимное расположение плоскостей 20. Уравнение прямой в пространстве(общее, каноническое, параметрическое) 21.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости (общее, проходящей через три заданные точки) 23. Канонические уравнения кривых 2-го порядка (вывести одно из них). Множества, основные определения, операции над множествами.
Определение и свойства абсолютной величины. Ограниченные множества. Теорема о существовании верхней и нижней граней множества.
Числовые последовательности, основные определения. Определение предела числовой последовательности. Определение и свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности и их свойства. Производная, её геометрический и механический смысл. Дифференциал функции, его геометрический и механический смысл. Правила дифференцирования.
Доказать теорему о производной обратной функции. Теорема Роля 33. Теорема Лагранжа 34.
Необходимые и достаточные условия экстремума функции. Точки экстремума. Формула Тейлора. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Асимптоты графика функции, их нахождение.