Реферат Первообразная
Реферат: https://goo.gl/C3aoEa?84267. Название реферата: Первообразная - (реферат) Вы можете скачать реферат 'Первообразная. Теоретические вопросы Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных. Oct 20, 2000 - Определение первообразной, правила нахождения.
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Экономики Статистики и Информатики. Реферат по высшей математике Тема: « Неопределенный интеграл » Выполнила: Студентка: Лобина Л.А. Сергиев Посад 2005 План: 1) Первообразная и 2) Таблица интегралов 3) Некоторые свойства неопределенного интеграла 4) Интегрирование методом замены переменой или способом подстановки 5) Интегрирование по частям 6) Рациональные дроби.
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование 7) Интегрирование рациональных дробей 8) Интегралы от иррациональных функций 1) Первообразная и неопределенный интеграл Рассмотрим задачу: Дана функция f(x);требуется найти такую функцию F(x),производная которой равна f(x),т.е. F ′ (x)= f(x). Определение:1.Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке a,b, если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F ′ (x)= f(x). Найти первообразную от функции f(x)=x 2.Из определения первообразной следует, что функция F(x)=х 3/3 является первообразной, так как (х 3/3)′= x 2.
Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции:, или вообще (где С- произвольная постоянная), так как. С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции x 2.
Это вытекает из следующей теоремы. Если F 1 (x) и F 2 (х)- две первообразные от функции f(x) на отрезке a,b, то разность между ними равна постоянному числу. В силу определения первообразной имеем F 1 ′(х)= f(x), F 2 ′(х)= f(x) (1) При любом значении х на отрезке a,b.
Обозначим F 1 (х)- F 2 (х) =φ(х). (2) Тогда на основании равенств (1) будет F′ 1 (х)- F′ 2 (х)= f(x)- f(x)=0 или φ′(х)= F′ 1 (х)- F′ 2 (х)′≡0 при любом значении х на отрезке a,b. Но из равенства φ′(х)=0 следует, что φ(х) есть постоянная.
Действительно, применим теорему Лагранжа к функции φ(х), которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке a,b. Какова бы ни была точка х на отрезке a,b, мы имеем в силу теоремы Лагранжа φ(х)- φ(а)= (х-а) φ′(z), где а 0). В примерах 3 и 4 выделены формулы,приведенные в таблице интегралов под номерами 11′и 13′(см. Выше,пункт №2). Полагаем t=lnx; тогда.
Первообразная Реферат
Полагаем;тогда dt= 2xdx, Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким -либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.
По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения. Этому посвящены большая часть настоящего пункта.
5)Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле:d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем. (1) Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи, и мы покажем на ряде примеров, как это делается. Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C).
Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю. Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях.
Так, например, интегралы вида некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям. Требуется вычислить.
Положим u= arctg x, dv=dx;тогда. Следовательно, Пример 3. Требуется вычислить. Положим тогда. Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая Тогда. Окончательно будем иметь.
Реферат Первообразная И Интеграл
6) Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование Как мы увидим ниже, далеко не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся в элементарных функциях. Поэтому очень важно выделить такие классы функций, интегралы которых выражаются через элементарные функции. Простейшим из этих классов является класс рациональных функций.
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. В виде отношения двух многочленов: Не ограничивая общности рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, в противном случае дробь называется неправильной. Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:; здесь М(х)-многочлен, а - правильная дробь.
Пусть дана неправильная рациональная дробь Разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), получим. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.
Правильные рациональные дроби вида (1). (k-целое положительное число (3) (корни знаменателя комплексные, т.е. (4) (k-целое положительное число;корни знаменателя комплексные), называются простейшими дробями (1),(2),(3) и (4) типов. Интегрирование простейших дробей типа (1),(2) и (3) не составляет большой трудности, поэтому мы приведем их интегрирование без каких-либо дополнительных пояснений: (1) (2).